4.3 菱形

教学目标：

( 一 ) 教学知识点

1. 菱形的定义 .

2. 菱形的性质 .

3. 菱形的判定 .

( 二 ) 能力训练要求

1. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法 .

2. 了解菱形的现实应用和常用判别条件 .

( 三 ) 情感与价值观要求

1. 在操作活动过程中，加深师生的情感；培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣 .

2. 在学习过程中，来体会菱形的图形美和内在美 .

教学重点：菱形的性质及判定方法 .

教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用 .

教学过程：

巧设情景问题，引入课题

前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下 . 大家来看一个衣帽架

这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？

图中三个四边形都可以看成是平行四边形，那么这几个平行四边形有什么特点呢？让学生注意观察，然后回答。

这三个平行四边形都是邻边相等的平行四边形 . 我们把这样的平行四边形叫做菱形 . 这节课我们就来探讨一下菱形 .

二 . 新课

你能给菱形下定义吗？（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . ）菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等 . 所以菱形是具备：“①平行四边形，②一组邻边相等” . 这两个条件的四边形 .

下面大家画一个菱形，然后回答下列问题

如图，在菱形 ABCD 中， AB = AD ，对角线 AC 、 BD 相交于点 O .

(1) 图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2) 图中有哪些等腰三角形、直角三角形？

(3) 两条对角线 AC 、 BD 有什么特定的位置关系？（同学们讨论分析回答）

同学们分析得很好，能否从中归纳出菱形的性质呢？

因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：

1 、菱形的四条边都相等 .

2 ．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

（菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直 . ）

同学们回答得很好，我们知道了菱形的性质，那想一想如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做 .

( 学生想??动手折、剪，教师指导，然后出示两种及学生总结的折纸、剪切的方法 )

方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片 .( 课本 P109)

方法二：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 就是菱形 .( 如图 1)

方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形 .( 如图 2)

你能说一说按这三种方法做的理由吗？大家讨论一下回答 .

方法一主要是利用了菱形的轴对称性 . 按方法一剪出如图所示的图形 . 以 BD 所在的直线对折时， OA = OC ，以 AC 所在的直线对折时， OB = OD ，这时四边形 ABCD 是平行四边形，又因为两条折痕是互相垂直的，即： AC ⊥ BD ，又 OA = OC ，所以 BD 是 AC 的中垂线 . 即 AB = BC ，因此平行四边形 ABCD 是菱形 .

按方法二得到的四边形是菱形的理由是：这个四边形的两组对边分别在纸条的边缘上，它们彼此平行，它是平行四边形；分别以一组邻边为底写出这个平行四边形的面积 ( 都是底乘高 ) ，再由纸条等宽即它们的高相等，立即得到这组邻边相等 .

按方法三得到的菱形的理由是：如图 2 ，△ ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，所以 AB = AC ，以 BC 为折痕，对折后，得到的三角形 BCD 仍是等腰三角形，即： BD = DC ，又因为 AB = BD ， DC = AC ，所以 AB = CD ， BD = AC ，所以四边形 ABDC 是平行四边形，又 AB = AC ，因此，平行四边形 ABDC 是菱形 .

刚才通过折纸、剪切，得到了菱形，你能因此归纳一下菱形的判别方法吗？分组讨论，然后总结：

菱形的判别方法：

1 ．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2 ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3 ．四条边都相等的四边形是菱形

（要注意的是：菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形 . ）

好，下面大家完成 P ₉₄ 的议一议 ).

三．应用

［例］如图，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC =90 °， AD ⊥ BC 于 D ， BE 平分∠ ABC 交 AD 于 F ，交 AC 于 E ，若 EG ⊥ BC 于 G ，连结 FG .

求证：四边形 AFGE 是菱形 .

分析：要判别四边形 AFGE 是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件 . 由已知易得 AF//EG ，再证 FG//AE ；由已知不难得出∠ 3 = ∠ 4 ， BE 为Δ ABE 与Δ GBE 的公共边，而Δ ABE 与Δ GBE 都是直角三角形，所以Δ ABE ≌Δ GBE ， AB = BG ，因此，Δ ABF 与Δ GBF 中，∠ 3 = ∠ 4 ， BG = BA ， BF 为公共边，所以Δ ABF ≌Δ GBF ，∠ 2 = ∠ FGD ，而∠ 2+ ∠ 1 = 90º = ∠ FGD+ ∠ EGF ，所以∠ 1 = ∠ EGF ，而∠ EGF = ∠ GFD ，所以∠ 1 = ∠ GFD ， AE//FG ；由前面所证得的Δ ABE ≌Δ GBE ，可知 EG = EA ，即四边形 AFGE 是菱形．

四．小结

本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下：

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形 .

菱形的性质：边：四条边都相等

对边分别平行

角：对角线相等

对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角 .

菱形的判定：

五 . 课后作业：

教学反思：菱形是特殊的平行四边形，然后让学生自主探索菱形除平行四边形具备的性质外它本身所具有的特殊性。发展学生合情的逻辑推理过程，逐步规范格式。相关的计算要注意规律。从本节课内容来看要求比较高。基础差一点的同学掌握起来是略为困难了些。