4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）
（一）教学具准备
直尺、圆规、投影仪．
（二）教学目标
1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．
2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线．
3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．
（三）教学过程（可用课件辅助教学）
1．设置情境
引进弧度制以后， 就可以看做是定义域为 的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．
2．探索研究
（1）复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同 学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）
设任意角 的终边与单位圆相交于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为 ，则有向线段 叫做角 的正弦线，有向线段 叫做角 的余弦线．
（2）在直角坐标系中如何作点
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点 ？
教师引导学生用图2的方法画出点 ．
我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 ， 的图像呢？
①用几何方法作 ， 的图像
我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点 的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．
（边画图边讲解），我们先作 在 上的图像，具体分为如下五个步骤：
a．作直角坐标系，并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆．
b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于0， ， ， ，…， 角的正弦线．
c．找横坐标：把 轴上从0到 （ ）这一段分成12等分．
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．
e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得 ， 的图像．
②作正弦曲线 ， 的图像．
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 ， ， 且 的图像与函数 ， 的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数 ， 的图像向左、右平移（每次 个单位长度），就可以得到正弦函数数 ， 的图像，如图1．
正弦函数 ， 的图像叫做正弦曲线．
③五点法作 ， 的简图
师：在作正弦函数 ， 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数 ， 与 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？
生：（0，0）， ， ， ，
师：事实上，只要指出这五个点， ， 的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．
④用变换法作余弦函数 ， 的图像
因为 ，所以 ， 与 是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数 ， 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．
生：（0，1）， ， ， ，
3．例题分析
【例1】画出下列函数的简图：
（1） ， ；
（2） ， ．
解：（1）按五个关键点列表
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
－1 |
0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
利用五点法作出简图3
师：请说出函数 与 的图像之间有何联系？
生：函数 ， 的图像可由 ， 的图像向上平移1个单位得到．
（2）按五个关键点列表
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
－1 |
0 |
1 |
|
|
－1 |
0 |
1 |
0 |
－1 |
利用五点法作出简图4
师： ， 与 ， 的图像有何联系？
生：它们的图像关于 轴对称．
练习：
（1）说出 ， 的单调区间；
（2）说出 ， 的奇偶性．
参考答案：（1）由 ， 图像知、 ， 为其单调递增区间， 为其单调递减区间
（2）由 ， 图像知 是偶函数．
4．总结提炼
（1）本课介绍了四种作 ， 图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．
（2）用平移诱变法，由 这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右．
5．演练反馈，（投影）
（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像
① ， ② ，
（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 的区间．
① ， ② ， ③ ， ④
（3）画出下列函数的简图
① ， ② ， ③ ，
参考答案：
（1）
（2）① ， ， ② 、 ，
③ ④
（3）
（五）板书设计
|
课题 1．正、余弦函数线 2．作点 3．作 ， 的图像 4．五点法作正弦函数图像 |
5．变换法作 的图像 6．五点法作余弦函数图像 7．例题 （1） （2） 演练反馈 |
总结提炼 |
返回