§3.2.1 等差数列

目的 ：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点 ：1.要证明数列{a _n }为等差数列，只要证明a _n+1 -a _n 等于常数即可（这里n≥1,且n∈N ^* ）

2.等差数列的通项公式：a _n =a ₁ +(n-1)d (n≥1,且n∈N ^* ).

3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且 <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?XML:NAMESPACE PREFIX = O />

难点 ：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。

过程 ：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，-3，-6，……

， ， ， ，……

12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115）

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1．名称：AP     首项 公差

2．若 则该数列为常数列

3．寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为 当 时 （成立）

注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数

2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP

证明：若

它是以 为首项， 为公差的AP。

3° 公式中若 则数列递增， 则数列递减

4° 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以

求出另一个。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二）  注意：该题用方程组求参数

例3 （P116例三）  此题可以看成应用题

四、  关于等差中项： 如果 成AP 则

证明：设公差为 ，则

∴

例4  《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项

∴ 又是-1与3的等差中项

∴

又是1与7的等差中项  ∴

解二：设 ∴

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明

例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：

当 时

时 亦满足  ∴

首项

∴ 成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。

例6   已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。

证明： ∵ ， ， 成AP

∴ 化简得：

=

∴ ， ， 也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。

例7  设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？

解： 时 时

∵ ∴

∴ 数列 不成AP   但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业： P118 习题3．2    1-9

七、练习：

1．已知等差数列{a _n }，（1）a _n =2n+3,求a ₁ 和d   （2）a ₅ =20,a ₂₀ =-35,写出数列的通项公式及a _100.

2.在数列{a _n }中，a _n =3n-1，试用定义证明{a _n }是等差数列，并求出其公差。

注：不能只计算a ₂ -a ₁ 、 _、 a ₃ -a ₂ 、a ₄ -a ₃ 、等几项等于常数就下结论为等差数列。

3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。

分析：本题可采用两种方法来解。

（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据

相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

5．在数列{a _n }中, a ₁ =1,a _n = ,(n≥2),其中S _n =a ₁ +a ₂ +…+a _n .证明数列是等

差数列，并求S _n 。

分析：只要证明 (n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的a _n 转化

为S _n -S _n-1 后再变形，便可达到目的。

6．已知数列{a _n }中，a _n -a _n-1 =2(n≥2), 且a ₁ =1，则这个数列的第10项为（  ）

A  18       B 19       C 20       D21

7．已知等差数列{a _n }的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（    ）

A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、 mb+p 、mc+p

成等差数列，那么甲是乙的（   ）

A 充分而不必要条件    B 必要而不充分条件

C 充要条件            D既不必要也不充分条件

9．（1）若等差数列{a _n }满足a ₅ =b,a ₁₀ =c(b≠c),则a ₁₅ =

（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是

（3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是

10．已知a ₅ =11,a ₈ =5,求等差数列{a _n }的通项公式。

11．设数列{a _n }的前n项S _n =n ² +2n+4(n∈N ^* )

(1)   写出这个数列的前三项a _1, a ₂ ,a ₃ ;

(2)   证明：除去首项后所成的数列a ₂ ,a ₃ ,a ₄ …是等差数列。

12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？

13．若关于x的方程x ² -x+a=0和x ² -x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。