第四册角的平分线

教学目标 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

1 ．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．

2 ．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．

3 ．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1 ，复习引入课题．

（ 1 ）提问关于直角三角形全等的判定定理．

（ 2 ）让学生用量角器画出图 3 － 86 中的 ∠AOB 的角

平分线 OC ．

2 ．画图探索角平分线的性质并证明之．

（ 1 ）在图 3 － 86 中，让学生在角平分线 OC 上任取一

点 P ，并分别作出表示Ｐ点到 ∠AOB 两边的距离的线段

PD ， PE ．

（ 2 ）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> （ 3 ）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理 1 ），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．

3 ．逆向思维探求角平分线的判定定理．

（ 1 ）让学生将定理 1 的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理 2?? 角平分线的判定定理．

（ 2 ）教师随后强调定理 1 与定理 2 的区别：已知角平分线用性质为定理 1 ，由所给条件判定出角平分线是定理 2 ．

（ 3 ）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．

4 ．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．

（ 1 ）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

（ 2 ）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

二、应用举例、变式练习

练习 1 填空：如图 3 － 86 （ 1 ） ∵OC 平分 ∠AOB ，点 P 在射线 OC 上， PD⊥OA 于 D

PE⊥OB 于 E ． ∴--------- （角平分线的性质定理）．

（ 2 ） ∵PD⊥OA ， PE⊥OB ， ----------∴ OP 平分 ∠AOB （ ------------- ）

例 1 已知：如图 3 － 87 （ a ）， ABC 的角平分线 BD 和 CE 交于 F ．

（ l ）求证： F 到 AB ， BC 和 AC 边的距离相等；

（ 2 ）求证： AF 平分 ∠BAC ；

（ 3 ）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（ 4 ）怎样找 △ABC 内到三边距离相等的点？

（ 5 ）若将 “ 两内角平分线 BD ， CE 交于 F” 改为 “△ABC 的两个外角平分线 BD ， CE 交于 F ，如图 3-87 （ b ），那么（ 1 ）～（ 3 ）题的结论是否会改变？怎样找 △ABC 外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（ 1 ）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（ 1 ）题）和判定定理（第（ 2 ）题）的目的．

（ 2 ）此题提供了证明 “ 三线共点 ” 的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（ 3 ）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（ 5 ）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．

练习 2 已知 △ABC ，在 △ABC 内求作一点 P ，使它到 △ABC 三边的距离相等．

练习 3 已知：如图 3 － 88 ，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， AB⊥BC ， AD⊥DC ．求证：点 C 在 ∠DAB 的平分线上．

例 2 已知：如图 3 － 89 ， OE 平分 ∠AOB ， EC⊥OA 于 C ， ED⊥OB 于 D ．求证：（ 1 ） OC ＝ OD ；（ 2 ） OE 垂直平分 CD ．

分析：证明第（ 1 ）题时，利用 “ 等角的余角相等 ” 可得到 ∠OEC ＝ ∠OED ，再利用角平分线的性质定理得到 OC ＝ OD ．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

练习 4 课本第 54 页的练习 .

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1 ．互逆命题、互逆定理的定义．

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调 “ 互逆命题 ” 是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．

2 ．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．

例 3 写出下列命题的逆命题，并判断（ 1 ）～（ 5 ）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（ 1 ）两直线平行，同位角相等；

（ 2 ）直角三角形的两锐角互余；

（ 3 ）对顶角相等；

（ 4 ）全等三角形的对应角相等；

（ 5 ）如果 |x| ＝ |y| ，那么 x ＝ y ；

（ 6 ）等腰三角形的两个底角相等；

（ 7 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（ 6 ）题的逆命题不能说成是 “ 两底角相等的三角形是等腰三角形 ” ．

3 ．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．

例 4 判断下列命题是否正确：

（ 1 ）错误的命题没有逆命题；

（ 2 ）每个命题都有逆命题；

（ 3 ）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（ 4 ）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（ 5 ）每一个定理都一定有逆定理．

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．

四、师生共同小结

1 ．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2 ．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3 ．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业

课本第 55 页第 3 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 题．

课堂教学设计说明

本教学设计需 2 课时完成．

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性