排列、组合、二项式定理-基本原理

教学目标
（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；
（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；
（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；
（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力；
（5）通过对加法原理与乘法原理的 学习 ，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析
本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。这两个原理是 学习 排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。
两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是， 做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。

三、教法建议
关于两个计数原理的教学要分三个层次：
第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．
第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：
①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；
②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；
③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；
④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；
⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．
第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．

教学设计示例

加法原理和乘法原理

教学目标

正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点 和难点

重点：加法原理和乘法原理．

难点：加法原理和乘法原理的准确应用．

教学用具

投影仪．

教学过程 设计

（一）引入新课

从本节课开始，我们将要 学习 中学代数内容中一个独特的部分??排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后 学习 概率论的基础，统计学、运筹学以及 生物 的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．

今天我们先 学习 两个基本原理．

（二）讲授新课

1 ．介绍两个基本原理

先考虑下面的问题：

问题 1 ：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有 4 个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法．

这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子??加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有 m ₁ 种不同的方法，在第二类办法中有 m ₂ 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 m _n 种不同的方法．那么，完成这件事共有 N=m ₁ +m ₂ + … +m _n 种不同的方法．

请大家再来考虑下面的问题（打出片子??问题 2 ）：

问题 2 ：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条（见下图），从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？

这里，从 A 村到 B 村，有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又各有 2 种不同的走法，因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 3 × 2=6 种不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子??乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m ₁ 种不同的方法，做第二步有 m ₂ 种不同的方法，……，做第 n 步有 m _n 种不同的方法．那么，完成这件事共有 N ＝ m ₁ × m ₂ ×…× m _n 种不同的方法．

2 ．浅释两个基本原理

两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．

比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．

看下面的分析是否正确（打出片子??题 1 ，题 2 ）：

题 1 ：找 1 ～ 10 这 10 个数中的所有合数．第一类办法是找含因数 2 的合数，共有 4 个；第二类办法是找含因数 3 的合数，共有 2 个；第三类办法是找含因数 5 的合数，共有 1 个．

1 ～ 10 中一共有 N=4 ＋ 2 ＋ 1=7 个合数．

题 2 ：在前面的问题 2 中，步行从 A 村到 B 村的北路需要 8 时，中路需要 4 时，南路需要 6 时， B 村到 C 村的北路需要 5 时，南路需要 3 时，要求步行从 A 村到 C 村的总时数不超过 12 时，共有多少种不同的走法？

第一步从 A 村到 B 村有 3 种走法，第二步从 B 村到 C 村有 2 种走法，共有 N=3 × 2=6 种不同走法．

题 2 中的合数是 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10 这五个，其中 6 既含有因数 2 ，也含有因数 3 ； 10 既含有因数 2 ，也含有因数 5 ．题中的分析是错误的．

从 A 村到 C 村总时数不超过 12 时的走法共有 5 种．题 2 中从 A 村走北路到 B 村后再到 C 村，只有南路这一种走法．

（此时给出题 1 和题 2 的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的 学习 能力）

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m 种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．

也就是说：类类互斥，步步独立．

（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）

（三）应用举例

现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．

例 1 书架上放有 3 本不同的 数学 书， 5 本不同的 语文 书， 6 本不同的 英语 书．

（ 1 ）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（ 2 ）若从这些书中，取 数学 书、 语文 书、 英语 书各一本，有多少种不同的取法？

（ 3 ）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这 3 个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）

（ 1 ）从书架上任取一本书，可以有 3 类办法：第一类办法是从 3 本不同 数学 书中任取 1 本，有 3 种方法；第二类办法是从 5 本不同的 语文 书中任取 1 本，有 5 种方法；第三类办法是从 6 本不同的 英语 书中任取一本，有 6 种方法．根据加法原理，得到的取法种数是

N ＝ m ₁ ＋ m ₂ ＋ m ₃ ＝ 3 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 14 ．故从书架上任取一本书的不同取法有 14 种．

（ 2 ）从书架上任取 数学 书、 语文 书、 英语 书各 1 本，需要分成三个步骤完成，第一步取 1 本 数学 书，有 3 种方法；第二步取 1 本 语文 书，有 5 种方法；第三步取 1 本 英语 书，有 6 种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是 N=m ₁ × m ₂ × m ₃ =3 × 5 × 6=90 ．故，从书架上取 数学 书、 语文 书、 英语 书各 1 本，有 90 种不同的方法．

（ 3 ）从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3 类办法：第一类办法是 数学 书、 语文 书各取 1 本，需要分两个步骤，有 3 × 5 种方法；第二类办法是 数学 书、 英语 书各取 1 本，需要分两个步骤，有 3 × 6 种方法；第三类办法是 语文 书、 英语 书各取 1 本，有 5 × 6 种方法．一共得到不同的取法种数是 N=3 × 5 ＋ 3 × 6 ＋ 5 × 6=63 ．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有 63 种．

例 2 由数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从 1 ～ 4 这 4 个数字中任选一个数字，有 4 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5 种选法；第三步确定个位上的数字，仍有 5 种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N=4 × 5 × 5=100 ．

答：可以组成 100 个三位整数．

教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础 .

（四）归纳小结

归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：

分类时用加法原理，分步时用乘法原理．

应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

（五）课堂练习

P222 ：练习 1 ～ 4 ．

（对于题 4 ，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）

（六）布置作业

P222 ：练习 5 ， 6 ， 7 ．

补充题：

1 ．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？

（提示：按十位上数字的大小可以分为 9 类，共有 9 ＋ 8 ＋ 7 ＋…＋ 2 ＋ 1=45 个个位数字小于十位数字的两位数）

2 ．某学生填报高考志愿，有 m 个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写 3 个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．

（提示：需要按三个志愿分成三步，共有 m （ m-1 ）（ m-2 ）种填写方式）

3 ．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？

（提示：可以用下面方法来求解：（ 1 ）△△□，（ 2 ）△□△，（ 3 ）□△□，（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）类中每类都是 9 × 9 种，共有 9 × 9+9 × 9+9 × 9=3 × 9 × 9=243 个只有两个数字相同的三位数）

4 ．某小组有 10 人，每人至少会 英语 和日语中的一门，其中 8 人会 英语 ， 5 人会日语，（ 1 ）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（ 2 ）从中选出会 英语 与会日语的各 1 人，有多少种不同的选法？

（提示：由于 8 ＋ 5=13 ＞ 10 ，所以 10 人中必有 3 人既会 英语 又会日语．

（ 1 ） N=5 ＋ 2 ＋ 3 ；（ 2 ） N=5 × 2 ＋ 5 × 3 ＋ 2 × 3 ）