含有绝对值的不等式

教学目标

（1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法；

（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等 数学 思想方法；

（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；

（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

① 本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的 数学 思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神．
② 教学难点 一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生 学习 上的难点．

三、教学建议

（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例．
（2）课前复习应充分．建议复习：当 时
；
；

以及绝对值的性质：

，为证明例1做准备．
（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究： 是否等于 ？大小关系如何？ 是否等于 ？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论．
（4）不等式 的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．
（5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论 ．
（6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神．

教学设计示例

含有绝对值的不等式

教学目标

理解 及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。

教学重点 难点

重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。

难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。

教学过程

一、复习引入

我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。

当 时，则有：

那么 与 及 的大小关系怎样？

这需要讨论  当

当

当

综上可知：

我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？

.

当 时，有： 或 .

二、引入新课

由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。

那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？

1．定理探索

和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想

.

怎么证明你的结论呢？

用分析法，要证 .

只要证

即证

即证 ，

而 显然成立，

故

那么怎么证 ？

同样可用分析法

当 时，显然成立，

当 时，要证

只要证 ，

即证

而 显然成立。

从而证得 .

还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示）

由 与 得 .

当我们把 看作一个整体时，上式逆用 可得什么结论？

。

能用已学过得的 证明 吗？

可以 表示为 .

即 （教师有计划地板书学生分析证明的过程）

就是含有绝对值不等式的重要定理，即 .

由于定理中对 两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？ 个实数和的绝对值呢？

亦成立

这就是定理的一个推论，由于定理中对 没有特殊要求，如果用 代换 会有什么结果？（请一名学生到黑板演）

，

用 代 得 ，

即 。

这就是定理的推论 成立的充要条件是什么？

那么 成立的充要条件是什么？

.

例1  已知 ，求证 . （由学生自行完成，请学生板演）

证明：

例2  已知 ，求证 .

证明：

点评：这是为今后 学习 极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。

例3  求证 .

证法一：（直接利用性质定理）在 时，显然成立.

当 时，左边

.

证法二：（利用函数的单调性）研究函数 在 时的单调性。

设 ，

, 在 时是递增的.

又 ，将 ， 分别作为 和 ，则有

（下略）

证法三：（分析法）原不等式等价于 ，

只需证 ，

即证

又 ，

显然成立.

原不等式获证。

还可以用分析法证得 ，然后利用放缩法证得结果。

三、随堂练习

1．①已知 ，求证 .

②已知 求证 .

2．已知 求证：

① ；

② .

3．求证 .

答案：1. 2. 略

3． 与 同号

四、小结

1．定理 . 把 、 、 看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面 学习 复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.

2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理 及其推论。

3．对 要特别重视.

五、布置作业

1．若 ，则不列不等式一定成立的是（  ）

A． B．

C． D．

2．设 为满足 的实数，那么（  ）

A． B．

C． D．

3．能使不等式 成立的正整数 的值是__________.

4．求证：

（1） ；

（2） .

5．已知 ，求证 .

答案： 1． D   2． B   3．1、2、3

4．

5．

=

注：也可用分析法.

六、 板书设计

6.5含有绝对值的不等式（一）
1．复习 2．定理 推论	例1 例2	例3 课堂训练