教学 设计示例

运用公式法――完全平方公式(1)

教学 目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．

4．通过运用公式法分解因式的 教学 ，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学 重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学 过程 设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax ⁴ －ax ² (2)16m ⁴ －n ⁴ .

解 (1) ax ⁴ －ax ² =ax ² (x ² －1)=ax ² (x+1)(x－1)

(2) 16m ⁴ －n ⁴ =(4m ² ) ² －(n ² ) ²

=(4m ² +n ² )(4m ² －n ² )

=(4m ² +n ² )(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b) ² =a ² +2ab+b ² ,   (a－b) ² =a ² －2ab+b ² .

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a ² +2ab+b ² =(a+b) ² ；    a ² －2ab+b ² =(a－b) ² .

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a ² +2ab+b ² 及a ² －2ab+b ² 叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x ² +6x+9；　　　　　(2)x ² +xy+y ² ；

(3)25x ⁴ －10x ² +1；　　　(4)16a ² +1.

答：(1)式是完全平方式.因为x ² 与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x ² +6x+9=(x+3) .

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

25x －10x +1=(5x－1) .

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1  把25x ⁴ +10x ² +1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x ⁴ ”是(5x ² )的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x ² ”是5x ² 与1的积的2倍.所以多项式25x ⁴ +10x ² +1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解　　25x ⁴ +10x ² +1=(5x ² ) ² +2·5x ² ·1+1 ² =(5x ² +1) ² .

例2　　把1－ m+ 分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ） ² =（1－ ） ² .

解法2 先提出 ，则

1－ m+ = (16－8m+m ² )

= (4 ² －2·4·m+m ² )

= (4－m) ² .

三、课堂练习(投影)

1.填空：

(1)x ² －10x+（　　） ² =（　　） ² ；

(2)9x ² +（　　）+4y ² =（　　） ² ；

(3)1－（　　）+m ² /9=（　　） ² .

2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

(1)x ² －2x+4；　　　　　　(2)9x ² +4x+1；　　　　(3)a ² －4ab+4b ² ；

(4)9m ² +12m+4；　　　　　(5)1－a+a ² /4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a ² －24a+144；　　　　　　　　(2)4a ² b ² +4ab+1；

(3)19x ² +2xy+9y ² ；　　　　　　　(4)14a ² －ab+b ² .

答案：

1.(1)25，(x－5) ² ；　　　　(2)12xy，(3x+2y) ² ；　　　　(3)2m/3，（1－m3） ² .

2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x ² －4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x ² －2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x ² +6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a ² -4ab+4b ² =(a－2b) ² .

(4)是完全平方式，9m ² +12m+4=(3m+2) ² .

(5)是完全平方式，1－a+a ² /4=（1－a ² ）2.

3.(1)(a－12) ² ；　　　　　　(2)(2ab+1) ² ；

(3)(13x+3y) ² ；　　　　　　(4)（12a－b） ² .

四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a ² +2ab+b ² =(a+b) ² ；如果是负号，则用公式a ² －2ab+b ² =(a－b) ² .

五、作业

把下列各式分解因式：

1.(1)a ² +8a+16；　　　　　　(2)1－4t+4t ² ；

(3)m ² －14m+49；　　　　　 (4)y ² +y+1/4.

2.(1)25m ² －80m+64；　　　　 (2)4a ² +36a+81；

(3)4p ² －20pq+25q ² ；　　　 (4)16－8xy+x2y2；

(5)a ² b ² －4ab+4；　        (6)25a ⁴ －40a ² b ² +16b ⁴ .

3.(1)m ²ⁿ －2m ⁿ +1；　　　　　 (2)7a ^m+1 －14a ^m +7a ^m－1 ；

4.(1) x －4x；　　　　　　 (2)a ⁵ +a ⁴ + a ³ .

答案：

1.(1)(a+4) ² ；　　　　　　　(2)(1－2t) ² ；

(3)(m－7) ² ；　　　　　　　(4)（y+12） ² .

2.(1)(5m－8) ² ；　　　　　　 (2)(2a+9) ² ；

(3)(2p－5q) ² ；　　　　　　(4)(4－xy) ² ；

(5)(ab－2) ² ；　　　　　　 (6)(5a2－4b2) ² .

3.(1)(m ⁿ －1) ² ；　　　　　　 (2)7a ^m－1 (a－1) ² .

4.(1) x(x+4)(x－4)；　　　 (2)14a ³ (2a+1) ² .

课堂 教学 设计说明

1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在 教学 设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的 教学 方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.

2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在 教学 设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.