一元一次不等式（组）（一）

一、全章教学内容及要求
１、理解不等式的概念和基本性质
２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集
３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。

二、技能要求

1、会在数轴上表示不等式的解集。

2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。

三、重要的数学思想：

1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。

四、主要数学能力

1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。

2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。

3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。

五、类比思想：

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。

在本章中，类比思想的突出运用有：

1、不等式与等式的性质类比。

对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。不等式（例如a>b或a
等式有两个基本性质：

1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。（即两边仍然相等）。

2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，符号不变（即两边仍然相等）。

按“类比”思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复检验得到的回答是对的，即有。

不等式的性质；1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来大的一边仍然大，原来较小的一边仍然较小）。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）。

例如： - x>20, 两边都乘以-5，得，
x<-100，（变形根据是不等式基本性质3）。
等式的基本性质是等式变形的根据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据。

2、不等式的解与方程的解的类比

从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。按“类比”思想来考虑问题，同样可以仿效方程解的意义来理解不等式的解的意义。

例如： 当x=3时，方程x+4=7两边的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而当x=2时，方程x+4=7两边值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

类似地当x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。

例如： x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图，

而不等式x+6>5则有无数多个解 -----大于-1的任何一个数都是它的解。它的解集是x>-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图


2、符号“≥”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”或可以理解为“不大于”。

例如； 在数轴上表示出下列各式：
（1）x≥2　　　　　　　（2）x<-2　　　　 （3）x>1　　 （4）x≤-1

解：
x≥2 　　　　　　　x<-2　　　　　　　　x>1　 　　　x≤-1

3、不等式解法与方程的解法类比。

从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如： 解下列方程和不等式：
= +1 ≥ +1

解： 3(2+x)=2(2x-1)+6　　1、去分母： 解： 3(2+x)≥2(2x-1)+6
6+3x=4x-2+6　　　　　　　2、去括号：　　 　　6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 　　　　　　3、移项：　　　 　 3x-4x≥-2+6-6
-x=-2　　　 　　　　　　　4、合并同类项：　　 　-x≥-2
x=2　　　　　 　　　　　　5、系数化为1：　　 　　x≤2
∴ x=2是原方程的解　　　　　　 　　　　　∴ x≤2是原不等式的解集。

注意： 解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

六、带有附加条件的不等式：

例1， 求不等式 (3x+4)-3≤7的最大整数解。

分析： 此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。

解： (3x+4)-3≤7
去分母： 3x+4-6≤14
移项：　　 　3x≤14-4+6
合并同类项： 3x≤16
系数化为1：　 x≤5
∴ x≤5 的最大整数解为x=5

例2， x取哪些正整数时，代数式3- 的值不小于代数式 的值？

解： 依题意需求不等式3- ≥ 的解集。
解这个不等式：
去分母：24-2(x-1)≥3(x+2)
去括号： 24-2x+2≥3x+6
移项：　　 -2x-3x≥6-24-2
合并同类项：　-5x≥-20
系数化为1：　　 x≤4
∴ x=4的正整数为x=1, 2, 3, 4.

答：当x取1, 2, 3, 4时，代数式3- 的值不小于代数式 的值。
例3， 当k取何值时，方程 x-2k=3(x-k)+1的解为负数。

分析： 应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。

解： 解关于x的方程： x-2k=3(x-k)+1
去分母：　　　 x-4k=6(x-k)+2
去括号：　　　 x-4k=6x-6k+2
移项：　　　 　x-6x=-6k+2+4k
合并同类项：　　　　 -5x=2-2k
系数化为1：　　　　　x= = .
要使x为负数，即x= <0，
∵ 分母>0，∴ 2k-2<0, ∴ k<1，
∴ 当k<1时，方程 x-2k=3(x-k)+1的解是负数。

例4， 若|3x-6|+(2x-y-m) ² =0，求m为何值时y为正数。

分析： 目前我们学习过的两个非负数问题，一个是绝对值为非负数，另一个是完全平方数是非负数。由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0，则这两个非负数只能为零。由这个性质此题可转化为方程组来解。由此求出y的表达式再解关于m的不等式。

解： ∵ |3x-6|+(2x-y-m) ² =0,
∴ ∴
解方程组得
要使y为正数，即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 当m<4时，y为正数。

注意： 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“至多”、“至少”、“非负数”、“正数”、“负数”、“负整数”……这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么。求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解，即这个不等式的解集，然后再从中筛选出符合要求的解。

七、字母系数的不等式：

例： 解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3

分析： 由于x是未知数，所以应把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，进行分类讨论。

解： 移项，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同类项：　　 (a+3)x≥3-3a
(1)当a+3>0，即a>-3时，x≥ ,
(2)当a+3=0，即a=-3时，0x≥12，不等式无解。
(3)当a+3<0，即a<-3时，x≤ 。

注意： 在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其他字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论，例题中只有分为a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三种情况进行研究，才有完整地解出不等式，这种处理问题的方法叫做“分类讨论”。

八、有关大小比较的问题

例1． 根据给定条件，分别求出a的取值范围。

（1）若a ² >a，则a的取值范围是____________；

（2）若a> , 则a的取值范围是____________。

解： （1）∵ a ² >a,
∴ a ² －a>0, 即a(a－1)>0,
∴ 或
解得a>1或a<0。

答： a的取值范围是a<0或a>1。

（2）∵ a> ,∴ a－ >0, 即 >0.
∴ 或
或
解得a>1或－1
答： a的取值范围是－11.

例2． （1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：
______ ; _______ ; ______ ;
______ ; _______ ; _____ .

从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母_____________，所得分数的值比原分数的值要_________。

猜想：设a>b>0, m>0, 则 _______ 。

（2）试证明你的猜想：

分析：1.易知：前面的各个空都填　 “< ”.

一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要 大 。

2.欲证 < ，只要证 － <0.
即证 <0,
即证 <0,
证明：∵ a>b>0, b－a<0,
又∵ m>0, ∴ m(b－a)<0,
∵ － =
= = <0,
∴ < 。

上面这个不等式有很多有意义的应用。

例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了。

设窗户面积为a，地板面积为b，若同时增加相等的窗户面积和地板面积m，由 < 可知，住宅的采光条件变好了。