摘要：数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做 适合 他的认知结构的活动。一、复杂方法简约化；二、前后呼应流畅化；三、实际问题逐步数学化；四、形式理解溯源化；五、 借助几何意义动态化。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 关键词：　数学教学难点　　认知　　教学设计 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 我们在教学实践、观课活动或与同行的交流中，常有这样的同感：课前对一些内容的教学设计在课堂上实施时，感到不自然，无法与学生产生共鸣，或自圆其说，或越俎代疱，或生拉硬扯。这些数学内容称之为数学教学难点，数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 按照皮亚杰的观点，对客体的认识是一个“同化”的过程，即如何把对象纳入（整合）到已有的认识框架（认知结构）之中；也只有借助于同化过程，客体才获得真正的意义。与此同时，认识框架本身也有一个不断发展或建构的过程，特别是，在已有的认知结构无法“容纳”新的对象的情况下，主体就必须对已有的认知结构进变革，以使其与客体相适应，这就是所谓的“顺应”。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 教学设计就是设计教学情境，帮助学生逐步将数学难点与头脑中已有的数学知识和经验联系起来。教师的作用是为学生的参与创造适宜的挑战环境，学生思维的发生和发展过程，去了解学生的数学结构，分析他的主观感知有什么问题，新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 1 、复杂方法简约化 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 人的认识总是不断在反思中发展、前进，思维不断在清晰化——明朗化——简约化的过程中得到提升。教学设计也应适时地“修剪”、重组教材（教学）中内容、方法，以适合学生吸收。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 案例 1 、正弦定理的向量证法 。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

C <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> B H A <?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> 教材用向量的知识证明正弦定理时，在三角形一个角的顶点作垂直于该角一边的一个单位向量 j 。学生觉得单位向量 j 在三角形的外部，没有与三角形的点或边形成封闭的图形，这与初中平面几何的辅助线作法相差很大。再者，教材利用 j •（+）= j •，再根据分配律将各向量转化为单位向量 j 上的投影。此法与学生已有的经验相去较远，理解上费力费时。我们不妨简化证法，利用学生已有的经验，作某一边上的高，各向量向高所在的向量投影，而不用单位向量。如： C <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> B <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> H <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> A <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> 作AH⊥BC于H，∠BAH=90º-B，∠CAH=90º-C，=||•||cos(90º-B)， =||•||cos(90º-C)，∴||•||cos(90º-B)=||•||cos(90º-C)， <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> ∴||sinB=||sinC，∴csinB= bsinC，∴= <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 这样，帮助学生“自我调节”，把平面几何知识与平面向量知识整合在一起，内化为个体自身的思维模式。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 2 、前后呼应流畅化 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 在引入新对象前刚学的知识和经验，对下续新对象的学习起着非常强的“暗示”作用，如果突然中断，而转入另一知识，学生会显得不知所措。教学设计应顺势利导，产生共鸣。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 案例 2 、等比数列前 n 项和公式的推导。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 在等比数列前n项和公式的推导的教学中，大家除了介绍教材上的方法外，还介绍其他一些方法，但总觉得引入不自然。因为在学习了等比数列的定义后，推导等比数列前n项和公式，在方法上与以往的经验不一样，学生感到很突然。如果启发学生联系等比数列的定义，就容易得到： <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> =q ， =q ， =q ，…，=q…… ⑴。转化为  a 2 =a 1 q，a 3 =a 2 q，a 4 =a 3 q，…，a n =a n-1 q。各式左右分别相加，得 a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n =a 1 q+ a 2 q + a 3 q +…+ a n-1 q，即 a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n =（a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n-1 ）q……⑵，往下容易得出：S n -a 1 =（S n -a n ）q ， ∴（1-q）S n =a 1 -a n q，即（1-q）S n =a 1 （1- q n ），∴当q≠1时，S n =。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 当然，也可以引导学生对⑴式结合等比性质或对⑵式结合S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n 的特征等方法，让学生在“不知不觉”中发现和“创造”出各种方法。创设情境，营造交流的氛围，帮助学生把新的问题“同化”到已有的认识框架（认知结构）之中，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，这是优化教学设计的目标。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 3 、实际问题逐步数学化 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 现实世界自始自终贯穿在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念的”数学化，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高。观察、比较与识别现实世界中的具体问题，并在类比、归纳的实际经历过程中，建立数学模型，或是找出其共性与规律，形成数学的抽象与概括，也就是学会“数学化”。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 案例 3 、数学归纳法原理。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 常见的教学设计是以“多米诺骨牌效应”引入，这个“效应”对学生而言十分直观明了，容易接受，但紧接着引出数学归纳法的两个步骤，特别是第二步归纳假设用于证明的必要性学生不易理解，常常出现没有利用归纳假设的“伪数学归纳法”。究其原因是从多米诺骨牌效应的“形象化”，未逐步“数学化”，而从直观到抽象一步到位，学生无法从中提炼出数学本质。不妨经过简单的“数学化”，提炼出数学本质，使学生的认知结构进行变革“顺应”新的知识。具体步骤是： <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 第一步：形象化过程（多米诺骨牌效应的分析）：一列多米诺骨牌同时具备二个条件：⑴第一块倒下；⑵假设某一块倒下，可保证它后面的一块也倒下。结论是什么？ <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 第二步：简单的数学化过程（让学生将“多米诺骨牌”换成“偶数列”）：一个数列{a n }同时具备二个条件：⑴第一个数是偶数；⑵假设某一个数是偶数，可证明它后面的一个数也是偶数。结论是：所有的数都是偶数。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 第三步：理解数学本质（师生交流、生生交流）：议题：将数列问题中一个或二个条件中的“偶数”换成“奇数”，其结论有何变化？ <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 4 、形式理解溯源化 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 对形式的理解，首先是对本质的理解。很多时候要追溯到形式、概念的定义，以及定义的必要性和合理性。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 案例 4 、反函数的表示法。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 教材中写道“在函数x=f —1 （y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f —1 （y）中的字母x、y，把它改写成y=f —1 （x）” 。为什么要把x=f —1 （y）改写成y=f —1 （x）？仅仅是因为“习惯”的原因？学生感到困惑，教师解释时感到理由不够充分。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 我想，这要从反函数的定义以及作用来理解，x=f —1 （y）与y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐标系中的图象是相同的，但表示的意义是不同的，因为自变量与函数的地位已经互换。为了使x=f —1 （y）与y=f（x）在同一坐标系中有相同地位的量在同一坐标轴上，便于研究它们的相互关系，才“对调函数x=f —1 （y）中的字母x、y，把它改写成y=f —1 （x）”，这样一来，x轴就是自变量轴，y轴就是函数轴。我们可以把这一理解，设计成提问或问题进行交流，在“数学学习的共同体”中，使学生对数学形式和数学本质有一个“个体创造性的理解”的过程。通过学生自身主动的建构，使新的学习材料在学生头脑中获得特定的意义，这就是在新的数学材料与学生已有的数学知识和经验之间建立实质性的、非任意的联系，不断完善学生个体的认知结构。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 五、借助几何意义动态化 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 对数学对象的认识是以头脑中实际建构出这种对象为必要前提的，这种“建构”活动并非简单地理解为如何在头脑中机械地去重复有关对象的形式定义，而是必然包含有一个“具体化”（相对而言）的过程，也即如何把新的数学概念与已有的数学知识和经验联系起来，使之成为对学习主体而言是有意义的、可以理解的、十分直观明了的，也即建立起适当的“心理表征”或“心理意义”。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 案例5：奇偶性与周期性的应用 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 已知函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈（0，1）时，f（x）=-lg 3 |x|+2，求：当x∈（1，2）时，f（x）的解析式。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 这一类题目的解答通常是：∵当x∈（0，1）时，f（x）=-lg 3 |x|+2，∴当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，又∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）= f（-x）=-lg 3 |-x|+2=-lg 3 |x|+2，当1＜x＜2时，-1＜x-2＜0，又∵y=f（x）是最小正周期为2的函数，∴f（x）= f（x-2）=-lg 3 |x-2|+2。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> 学生初次接触此类题目感到很抽象，不知如何才能把两个区间联系起来，不清楚解答中x范围不断变化的目的。因此，在解答前可启发学生做如下探索：将条件“当x∈(0，1)时，f（x）=-lg 3 |x|+2”改为“当x∈(0，1)时，f（x）=-x+2”，并作出图象——(0，1)上的线段AB（如图）。第一步：利用“偶函数”这一条件，关于y轴对称得到线段(-1，0)上的AC，第二步：利用“最小正周期为2”这一条件，向右平移2个单位得到(1，2)上的线段BD，（当然也可以交换这二步的顺序）。 根据这一动态顺序可逐步理解两个条件的作用以及x范围不断变化的目的，然后再根据偶函数与周期的定义，按动态顺序写出解答过程。在这里，偶函数与周期的几何意义为解题建立起了适当的“心理表征”或“心理意义”，动态顺序对解答过程中逻辑顺序的理解起着重要的作用。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 教学设计是将教学过程作有目的、有计划的安排，使各要素尽量达到较优的组合。这就要求教师不仅要系统地进行教学设计，而且还要进行多种多样的设计；然后根据不同的学情进行对比和选择，促进教学过程的优化，并且把优化教学过程理解为一个不断发展的过程。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 参考文献： <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 唐瑞芬.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社.2001.1